วันนี้จะพาย้อนไปสมัยเรียน เข้าห้องเรียนแคลคูลัส สำหรับท่านที่ผ่านหลักสูตรทางด้านวิทยาศาสตร์ หรือเทคโนโลยีมา จะต้องเจอกับ ดิฟกับอินทิเกรต เป็นวิธีที่ทุกคนจะต้องสงสัยว่าเรียนไปทำไม เรียนไปก็ไม่เห็นได้ใช้ วันนี้จะนำเสนอบทความเกี่ยวกับดิฟกับอินทิเกรตให้อ่านกัน

อนุพันธ์ (derivative) คืออัตราการเปลี่ยนแปลง ของตัวแปรตาม (ผล) เทียบกับตัวแปรต้นที่เราใส่ไป (เหตุ)

ยกตัวอย่าง วัตถุเคลื่อนที่ เมื่อเวลาผ่านไป วัตถุก็เคลื่อนที่ห่างจากจุดเริ่มต้นไปเรื่อย ๆ ในกรณีนี้ตัวแปรต้นคือ เวลา ตัวแปรตามคือ ระยะทาง ถ้าเราอยากรู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อเวลาเป็นอย่างไร ก็เอาระยะทางตั้ง แล้วหาอนุพันธ์ (หรือที่เรียก ๆ กันว่า diff) เทียบกับเวลา สิ่งที่ได้ก็คือ อัตราการเพิ่มขึ้นของระยะทางเมื่อเวลาเปลี่ยนไป หรืออัตราเร็วนั่นเอง

ส่วนการอินทิเกรต คือกระบวนการที่ย้อนกลับ คือเรารู้อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร และรู้ค่าตัวแปรต้น สามารถหาตัวแปรตามได้ (แต่ที่สำคัญต้องรู้ขอบเขตด้วย) เช่น ถ้าเรารู้อัตราเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ แล้วก็รู้เวลาทั้งหมดที่วัตถุนั้นใช้ อยากรู้ระยะทางทั้งหมดที่วัตถุนั้นเคลื่อนที่ได้ ก็อินทิเกรตอัตราเร็ว เทียบกับเวลาที่เรารู้ ก็จะได้ระยะทางตามที่ต้องการ

ให้เห็นภาพยิ่งขึ้น

วาดแกนตั้ง ลูกศรชี้โด่ วาดแกนนอนลูกศรชี้ไปทางขวามือ วาดเส้นโค้งๆ ใน quadrant ที่ 1 สมมติให้มันเป็นความสัมพันธ์ระหว่างค่าแกนนอนและค่าแกนตั้ง x กับ y = f(x) diff ก็คือความชันของจุดหนึ่งๆ บนเส้นโค้งๆ หรือคำอธิบายก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า y ต่อ x integrate ก็พื้นที่ใต้กราฟ

ทำไมเราถึงต้องสนใจ ความชัน และ พื้นที่ใต้กราฟ ของกราฟนั้นๆ? ลองนึกๆ ตามนะครับ ถ้าสมมติว่าเราไม่รู้ f(x) แต่เรารู้ค่า f(x1) และรู้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงที่จุด x1 ซึ่งก็คือ f'(x1) นั้นเป็นเท่าไหร่ มันจะทำให้เราทำนายได้ว่าจุดถัดไปใกล้ๆ กันนั้นควรมีค่า f(x2) เป็นเท่าไหร่ ตัวอย่างความเร็วกับตำแหน่ง ก็คือ ถ้าเราอยู่ที่จุด A แล้วเรารู้ว่าเรากำลังเดินด้วยความเร็ว 2 km/hour เราก็ย่อมทำนายได้ว่า อีกสิบนาทีเราควรจะไปอยู่ตรงไหนเบื้องหน้าเราในอนาคต นั่นคือ เราเอาข้อมูลต่างๆ ที่เรารู้ในปัจจุบัน ไปทำนายอนาคตได้ครับ

ส่วนค่า integrate ก็จะให้อีก sense หนึ่ง ผมอยากมองให้เป็นเรื่องของอดีต ที่จะทำให้เราสามารถทำนายอนาคตได้ การ integrate เป็นการรวมเอาข้อมูลที่เรารู้แน่ชัดอยู่แล้วมารวมกันแล้วหาค่าเฉลี่ย เพื่อเอามาเป็นตัวแทนข้อมูลในปัจจุบันครับ อย่าง... อะไรดี... เรามีกล่องไม้ใบนึงอ่ะ กล่องก็ต้องมีหกหน้าใช่ป่ะ? สมมติให้ผนังกล่องด้านขวามันทำจากไม้หนามากกว่าเพื่อนจนทำให้ก้นมันหนักๆ กว่าส่วนอื่น เวลาเราจับถือกล่องแบบนี้เราจะรู้สึกได้ว่าไม่ควรจับตรงกลาง แต่ควรจับค่อนมาด้านขวา หากเราต้องการรู้สถานะปัจจุบันของกล่องที่ว่านี้ คือ เราควรแทนตำแหน่ง (ซึ่งเป็น จุด ไม่มีขนาด) กล่องนี้ด้วยค่า (x, y, z) ค่าอะไร เราก็ต้องมองเนื้อไม้ของกล่องทั้งหมดเป็นเนื้อไม้เล็กๆ ย่อยๆ ขนาดเท่าๆ กันมวลเท่าๆ กัน รวมรวมเอาผลคูณค่ามวลน้อยๆ กับระยะทางจากจุดอ้างอิง เอามาบวกๆๆๆ กันจนครบมวลกล่อง แล้วก็เฉลี่ยกับระยะทางจากจุดอ้างอิงที่ว่านั่น สุดท้ายมะรุมมะตุ้มด้วย integrate เราจะได้ตัวแทนค่าตำแหน่งของกล่องใบนี้ออกมาได้ครับ เราก็จะเอาตำแหน่งที่ว่าไปใช้เป็นหนึ่งในข้อมูลปัจจุบัน เพื่อทำนายอนาคตต่อไป...

ข้อความจากพันทิป

ถ้ามีก้อนหิน 1 ก้อนคุณต้องการหาปริมาตร คุณก็ใช้วิะ๊ยูเรก้า แต่หินก้อนต่อไปบังเอิญ หินก้อนนี้มันใหญ่มากๆ ใหญ่กว่าบ้านคุณอีก คุณจะคำนวนปริมาตรอย่างไร โดยไม่ต้องเคลื่ิอนย้ายมัน

นี่แหละครับเค้าใช้การ ดิฟ คำนวนด้วยการซอยมันให้เป็น 4 เหลี่ยมลูกบาสเล็กๆ ครับ แล้วคำนวนว่าได้กี่ชิ้น คุณก็ไม่ต้องไปจ้างเครนยกไปยูเรกก้าในสระน้ำแล้ว

การใช้งานจริงๆ แรกๆผมไม่คิดว่าจะมีใครใช้งานจริงจังจนเจอเพื่อนที่จบมาด้วยกันทำงานโปรแกรมเมอร์ มันบอกว่ามันต้องใช้นัมเมอริคอล(การเขียนสมการ ดิฟก่ะอินทิเกรต ให้คอมคำนวนค่าออกมา) ในการทำงานเลยงงว่าทำอะไรฟ่ะ

มันต้องทำเครื่องหาปริมาตรอึวัวครับ อย่าขำ คือหาปริมาตรว่ามีกี่ลุกบาศ ซม ใน 1 ก้อน แล้วเค้าจะเอาไปเทียบกับน้ำหนัก เพื่อหาค่าอะไรซักอย่างของฟาร์มต้องใช้ ซึ่งปกติเครื่องนี้ซื้อจาก ญี่ปุ่นครับ 20 กว่า ล้าน /1 เครื่อง มันแพงมาก บริษัทเพื่อนผมรับอาสาผลิตให้ราคาเครื่องล่ะ 1 ล้าน โดยเพื่อนผมเป็นคนทำทั้งหมด  คอนเซ้บมันคือ มีการสแกนรูปทรงอึวัว 6 ด้าน แล้วสร้างเป็ยรูปขึ้นมาเป็นภาพ 2 มิติ  6 ด้านแล้วเอาหกด้านมาคำนวน แบบ ดริฟอินทิเกรตนี่แหละครับ มันอธิบายแต่ผมก็งงมากๆ แล้วก้ได้ผลออกมาใกล้เคียงของญี่ปุ่น error + -10%  ซึ่งฟาร์มยอมรับได้ ของญี่ปุ่น error +- 5%  มันบอกว่า ร่วม 3 เดือนแรกจัดทำ Hardware ให้แสกน อีก 6 เดือนหลังทำแต่สมการเขียนโปรแกรมคำนวน ราวๆ 1 ปีถึงจะผลิตเสร็จ

หลายๆท่านที่เคยเห็น การใช้ Differentialหรือ Integrated ในสมการการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ ในหลายเรื่อง เช่น การเคลื่อนที่,ความร้อน,ไฟฟ้าสถิตย์ หรือ แม่เหล็กไฟฟ้า แต่ไม่รู้ว่า ความหมายที่แท้จริงของมันคือ ทำอะไร แน่นอนว่า ทุกคน มีสูตร การ Differential หรือการ Integrated อยู่ในมือ และสามารถทำได้ถูกต้องอยู่แล้ว แต่การเข้าใจว่าทำไมถึงต้องใช้ Differential หรือ Integrated จะทำให้เราสามารถประยุกต์ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ด้านนี้ ไปใช้แก้ปัญญาอื่นๆ ได้ด้วย ขอเริ่มต้นที่ คำว่าอัตราการเปลี่ยนแปลง ก่อน จากนั้นจึงจะเป็น Differential และ Integrated ตามลำดับ โดยใช้ หัวข้อเรื่องการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นตัวอย่าง หรือหัวข้อทางฟิสิกส์เรื่องอื่นๆ ตามความเหมาะสม เราทราบว่าความสัมพันธ์ของระยะทางจากจุดเริ่มต้นและเวลา ของวัตถุ ที่เวลาต่างๆ หาได้ดังนี้

หากเราต้องการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เมื่อเทียบกับ t สามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้ 

บังเอิญว่า ในเรื่องของการเคลื่อนที่ เราเรียกอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ว่าเป็น ความเร็ว เราจะแบ่ง อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t เป็น 2 ขนิดคือ 1)อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และ 2)อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดๆ

พิจารณา อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t จากตัวอย่าง ที่ช่วงเวลาต่างๆ เพื่อหาอัตราเร็วเฉลี่ยที่ช่วงเวลา t ค่าต่างๆดังต่อไปนี้

ระหว่าง 1 < t < 5 แล้ว s มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นอย่างไร ซึ่งหาได้ดังนี้

ระหว่าง 2 < t < 5 แล้ว s มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นอย่างไร ซึ่งหาได้ดังนี้

ระหว่าง 3 < t < 5 แล้ว s มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นอย่างไร ซึ่งหาได้ดังนี้

ระหว่าง 4 < t < 5 แล้ว s มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นอย่างไร ซึ่งหาได้ดังนี้

ระหว่าง 5 < t < 5 แล้ว s มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นอย่างไร ซึ่งหาไม่ได้เนื่องจาก ส่วนมีค่าเป็นศูนย์

สังเกตว่ามีค่าน้อยลง จนกระทั้ง ตัวอย่างท้ายสุดซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ทำให้ไม่สามารถ หาค่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ได้ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเราต้องหาค่าได้ โดยใช้แนวคิดที่ว่า เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ จะหมายถึง ความเร็ว ขณะ t = 5 หรือเรียกว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะ t เข้าใกล้ 5

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t จึง กลายเป็น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะ t ใดๆ ถ้า มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

เราเขียนสัญลักษณ์ แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะ t ใดๆ ก็คือ

ต่อไปจะแสดงวิธีการหาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เมื่อ t เข้าใกล้ 5 ได้ดังนี้

ถ้า เข้าใกล้ศูนย์แล้วจะได้ t1และ t2 มีค่าใกล้เคียงกันมากๆ เราจึงสามารถกำหนดได้ว่าเราเขียนสัญลักษณ์ ให้อยู่ในรูป Differential ง่ายขึ้นดังนี้

แต่จากเรื่องการเคลื่อนที่ของวัตถุ เราได้ว่า ความเร็ว v คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t สามารถแสดงความสัมพันธ์ได้ดังนี้

จากที่แสดงมาข้างต้นทำให้เราสรุปความหมายว่า Differential คือ

1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ศูนย์
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะ t ใดๆ

ดังนั้นในสมการคณิตศาสตร์ ที่เราเห็นโดยทั่วไปคือ จึงมีความหมายว่าเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ dx เข้าใกล้ศูนย์ หรือ พูดว่าคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y ขณะ x มีค่าใดๆ

ภาพจาก http://www.physic2u.com

ปรับขนาดอักษร - +

Tags : ดิฟกับอินทิเกรต - แคลคูลัส - อนุพันธ์ - การอินทิเกรต - integrate